📘Logique Booléenne et Algèbre de Boole

La logique booléenne et l'algèbre de Boole constituent les fondements mathématiques de l'informatique moderne. Ces concepts, bien que simples, permettent de modéliser des systèmes complexes allant des circuits électroniques aux algorithmes d'intelligence artificielle.

🎯Objectifs d'Apprentissage

À la fin de cette leçon, vous serez capable de :

Comprendre les variables et opérations booléennes
Utiliser les tables de vérité
Appliquer les lois de l'algèbre de Boole
Simplifier des expressions logiques
Concevoir des circuits logiques simples
Implémenter des opérations booléennes en code

1 Concepts Fondamentaux

1.1 Variables Booléennes

Une variable booléenne ne peut prendre que deux valeurs :

0 (Faux)
False (en programmation)

1 (Vrai)
True (en programmation)

Notation : Lettres majuscules (A, B, X, Y...)

1.2 Opérations de Base

Opération	Symbole	Description
NON (NOT)	¬A, A̅, !A	Inverse la valeur
ET (AND)	A ∧ B, A·B	Vrai si les deux sont vrais
OU (OR)	A ∨ B, A+B	Vrai si au moins un est vrai

1.3 Tables de Vérité

Une table de vérité liste toutes les combinaisons possibles d'entrées et leurs sorties correspondantes.

ET (AND)

A	B	A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OU (OR)

A	B	A ∨ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

2 Algèbre de Boole

2.1 Lois Fondamentales

Lois de Base

Identité : A ∧ 1 = A
Domination : A ∨ 1 = 1
Idempotence : A ∨ A = A

Lois de De Morgan

¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Distributivité

A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

2.2 Simplification d'Expressions

Exemple de Simplification

Simplifions l'expression : (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)

1. Factorisation : A ∧ (B ∨ ¬B)

2. Complémentarité : B ∨ ¬B = 1

3. Identité : A ∧ 1 = A

Résultat final : A

3 Applications Pratiques

3.1 Circuits Logiques

Chaque opération booléenne correspond à une porte logique :

ET → Porte AND
OU → Porte OR
NON → Porte NOT

Exemple de circuit :

A ∧ (B ∨ C)

→ Une porte OR entre B et C, puis une porte AND avec A

3.2 Programmation

Python

A = True
B = False

print(A and B)  # False (ET)
print(A or B)   # True (OU)
print(not A)    # False (NON)

JavaScript

let A = true;
let B = false;

console.log(A && B);  // false (ET)
console.log(A || B);  // true (OU)
console.log(!A);      // false (NON)

3.3 Intelligence Artificielle

La logique booléenne est fondamentale pour :

Les systèmes experts basés sur des règles
Les algorithmes de décision
La logique floue (extension avec valeurs entre 0 et 1)

"SI (Température > 30) ET (Humidité > 70%) ALORS RisqueOrage = Vrai"

✍️Exercices Pratiques

Exercice 1

Créez la table de vérité pour : (A ∨ B) ∧ ¬C

Exercice 2

Simplifiez : (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B)

Exercice 3

Quelle expression donne 1 uniquement si A et B sont différents ?

En Résumé

La logique booléenne est un outil puissant qui :

Fournit les bases mathématiques de l'informatique
Permet de modéliser des problèmes complexes simplement
S'applique du matériel (circuits) au logiciel (algorithmes)

"La simplicité de la logique booléenne cache une puissance extraordinaire." — Claude Shannon

Ngangala Distribution

📌 Leçon - 9